Решить матрицу методом обратной матрицы онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Калькулятор матриц с решением онлайн | Действия с матрицами

Решить матрицу методом обратной матрицы онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

  • /
  • Калькуляторы
  • /
  • Калькулятор матриц – действия с матрицами онлайн

С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.

Также может быть интересно:

Как пользоваться калькулятором матриц

  • В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (1/2, 29/7, -1/125), десятичные дроби (12, -0.01, 3.14), а также числа в экспоненциальной форме (2.5e3, 1e-2).
  • Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
  • Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
  • Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок “Вставить в A” и “Вставить в B”.
  • Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
  • Используйте стрелки (←, ↑, →, ↓) для перемещения по элементам

С одной матрицей (только Матрица A или Матрица B)С двумя матрицами (Матрица A и Матрица B)

  • Складывать;
  • Вычитать;
  • Умножать;
  • Решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида AX=B;
  • Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.

Вы можете вычислять различные арифметические выражения с матрицами, а также с результатами некоторых преобразований этих матриц.

Из чего могут состоять выражения?

  • Целые и дробные числа
  • Матрицы A, B
  • Знаки арифметических действий: + – * /
  • Круглые скобки для изменения приоритета операций: ( )
  • Транспонирование: T
  • Возведение в целую степень:

Примеры корректных выражений

  • Cложение двух матриц: A+B, (A)+(B), ((A) + B)
  • Возведение линейной комбинации матриц в степень: (3A – 0.5B)5
  • Произведение транспонированной матрицы на исходную: ATA
  • Обратная матрица в квадрате для B: B-2

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m.

Элементы матрицы

Элементы A обозначаются aij, где i – номер строки, в которой находится элемент, j – номер столбца.

Некоторые теоретические сведения

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji

диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii

Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)

След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)

Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: An

Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A-1×A = A×A-1 = E

Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.

LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U

Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij

Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij

Умножение матриц An×k и Bk×m — матрица Cn×m, у которой элемент (cij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1·b1j + ai2·b2j + … + aik·bkj

Источник: https://programforyou.ru/calculators/calculator-matric

Решить матрицу методом обратной матрицы онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Решить матрицу методом обратной матрицы онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x 1 , x 2 , …, x n } в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы.

При этом:

  • вычисляется определитель матрицы A ;
  • через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 ;
  • осуществляется создание шаблона решения в Excel;

Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).

Инструкция. Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B .

См. также Решение матричных уравнений .

Алгоритм решения

  1. Вычисляется определитель матрицы A . Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
  2. При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 .
  3. Вектор решения X ={x 1 , x 2 , …

    , x n } получается умножением обратной матрицы на вектор результата B .

Пример. Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.

A 1,1 = (-1) 1+1 ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2 ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3 ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1 ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2 ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3 ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1 ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

X T = (1,0,1)x 1 = -21 / -21 = 1x 2 = 0 / -21 = 0x 3 = -21 / -21 = 1Проверка: 2 1+3 0+1 1 = 3 -2 1+1 0+0 1 = -2

1 1+2 0+-2 1 = -1

Матричный методрешения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.

Т.к. A −1 A=E, значит, X=A −1 B. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A:

detA≠0.

Для однородной системы линейных уравнений , т.е. если вектор B=0, выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицыA −1.

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

Пример решения неоднородной СЛАУ

Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.

Теперь находим союзную матрицу, транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.

Подставляем переменные в формулу:

Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например:

НЕЛЬЗЯ записать как:

Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:

Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x 1 ,x 2 , …, x n могут оказаться другие буквы. К примеру:

в матричной форме записываем так:

Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

Рассмотримсистему линейныхалгебраических уравнений(СЛАУ) относительно nнеизвестных x1, x2, …, xn :

Эта система в”свернутом” виде может быть записанатак:

Sni=1aijxj= bi, i=1,2, …, n.

Всоответствии с правиломумножения матрицрассмотреннаясистема линейных уравнений может бытьзаписана вматричнойформеAx=b,где

,,.

МатрицаA,столбцами которой являются коэффициентыпри соответствующих неизвестных, астроками – коэффициенты при неизвестныхв соответствующем уравнении называетсяматрицей системы.

Матрица-столбец b,элементами которой являются правыечасти уравнений системы, называетсяматрицей правой части или просто правойчастью системы.

Матрица-столбец x,элементы которой – искомые неизвестные,называется решениемсистемы.

Системалинейных алгебраических уравнений,записанная в виде Ax=b,является матричнымуравнением.

Еслиматрица системы невырождена,то у нее существует обратная матрица итогда решение системы Ax=bдается формулой:

x=A-1 b.

ПримерРешить системуматричнымметодом.

Решениенайдем обратнуюматрицу для матрицы коэффициентовсистемы

Вычислимопределитель, раскладывая по первойстроке:

ПосколькуΔ ≠ 0,то A-1существует.

Обратнаяматрица найдена верно.

Найдемрешение системы

Следовательно,x1= 1, x2= 2, x3= 3.

Проверка:

7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений

Системалинейных уравненийимеет вид:

a 21 x 1+ a 22 x 2 +…+ a 2n x n =b 2 ,(5.1)

a m1 x 1+ a m1 x 2+… + a mn x n= b m .

Здесьа i jи b i(i = ;j =)- заданные, а x j- неизвестные действительные числа.Используя понятие произведения матриц,можно переписать систему (5.1) в виде:

гдеA = (а i j)- матрица, состоящая из коэффициентовпри неизвестных системы (5.1), котораяназывается матрицейсистемы, X =(x 1 ,x 2 ,…,x n) T ,B= (b 1 ,b 2 ,…,b m) T- векторы-столбцы, составленныесоответственно из неизвестных x jи из свободных членов b i .

Упорядоченнаясовокупность nвещественных чисел (c 1 ,c 2 ,…,c n)называется решениемсистемы(5.1), если в результате подстановки этихчисел вместо соответствующих переменныхx 1 ,x 2 ,…,x n каждоеуравнение системы обратится варифметическое тождество; другимисловами, если существует вектор C= (c 1 ,c 2 ,…,c n) Tтакой, что AC B.

Система(5.1) называетсясовместной,или разрешимой,если онаимеет по крайней мере одно решение.Система называется несовместной,или неразрешимой,если она не имеет решений.

,

образованнаяпутем приписывания справа к матрице Aстолбца свободных членов, называетсярасширеннойматрицей системы.

Вопрос о совместностисистемы (5.1) решается следующей теоремой.

ТеоремаКронекера-Капелли.Система линейных уравнений совместнатогда и только тогда, когда ранги матрицA иAсовпадают, т.е.r(A) = r(A)= r.

Для множества Мрешений системы (5.1) имеются тривозможности:

1)M = (в этом случае система несовместна);

2)M состоит из одного элемента, т.е. системаимеет единственное решение (в этомслучае система называетсяопределенной);

3)M состоит более чем из одного элемента(тогда система называется неопределенной).В третьем случае система (5.1) имеетбесчисленное множество решений.

Системаимеет единственное решение только втом случае, когдаr(A) = n. При этом числоуравнений – не меньше числа неизвестных(mn);если m>n, то m-n уравнений являютсяследствиями остальных. Если 0

Источник: https://www.aogor.ru/reshit-matricu-metodom-obratnoi-matricy-onlain-kalkulyator-reshenie/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.